Inleiding Groepen en Ringen

Een "groep" is de wiskundige formalisatie van het begrip "symmetrie" en een “ring” is een formalisatie van een structuur met optelling en vermenigvuldiging. In dit vak krijgt de student een inleiding in deze twee abstracte structuren, hun eigenschappen, en concrete manifestaties ervan. Het vak is verplicht voor wiskundestudenten. Het vak geeft voorkennis voor alle algebra-, analyse-, meetkunde- en topologievakken in de bachelor. Zie voor meer informatie over de studiepaden de studentenwebsite.

Leerdoelen:

Onderwerpen die aan de orde komen zijn:

• de axioma's van groepen en ringen
• voorbeelden van groepen: symmetriegroepen, permutatiegroepen, matrixgroepen
• voorbeelden van ringen: gehele getallen, modulorekenen, polynomen, matrices, quaternionen
• begrippen commutativiteit, orde, nuldelers, domein, lichaam
• ondergroep; stelling van Lagrange
• homomorfismen en isomorfismen
• normale ondergroepen en quotiëntgroepen
• idealen, hoofdideaaldomein, unieke factorisatie, irreducibiliteit
• homomorfisme, kern, beeld, isomorfismestellingen voor groepen en ringen

Na afronding van de cursus kent de student:

• de definitie en eigenschappen van de begrippen in de lijst onderwerpen hierboven.
• de stellingen van Cauchy, Cayley, Lagrange, en de homomorfismestellingen voor groepen en ringen.

Na afronding van de cursus kan de student de geleerde begrippen, eigenschappen en stellingen toepassen op concrete en abstracte problemen.

Onderwijsvormen:
Er is twee keer per week een hoorcollege van twee uur. Het te behandelen materiaal is op voorhand te vinden op blackboard. Het wordt aangeraden dit materiaal voor het college door te nemen.
Daarnaast is er een werkcollege onder begeleiding van een werkcollegebegeleider en student-assistenten, tevens twee keer twee uur per week. In het werkcollege gaat de student actief aan de slag met het uitleggen (mondeling en schriftelijk) van begrippen en uitwerkingen van opgaves. In het werkcollege kunnen ook vragen gesteld en beantwoord worden.

Toetsing:

1. Iedere week wordt tijdens een werkcollege een (vrijwillige) 10-minuten quiz afgenomen en meteen nagekeken.
2. De cursist krijgt (individueel en/of in groepjes) verplichte inleveropgaven (uitvoeriger dan de tentamenopgaven) en opdrachten bij het werkcollege. Bij opdrachten is aanwezigheid verplicht. Fraude of plagiaat zal bij de examencommissie gemeld worden.
3. Eindtentamen.

Je mag aan het tentamen deelnemen als je aan de inspanningsverplichting voldoet. Die is R>5 , waarbij R het gemiddelde cijfer is van de verplichte activiteiten tijdens het blok. Als T het cijfer van het tentamen is (op 10), D de verhouding “aantal deelgenomen quizzes”/“totaal aantal quizzes”, Q het gemiddelde cijfer (op 10) voor de quizzes, dan is het eindcijfer E = max { 0.5 R + 0.5 T, 0.5 R + 0.1 DQ+(0.5-0.1 D)T}.

Het vak kan op honoursniveau gevolgd worden door het maken van aanvullende opdrachten.

Herkansing:
Om aan de reparatie deel te mogen nemen, moet de cursist aan de inspanningsplicht hebben voldaan en eindcijfer E=4 of E=5 hebben gehaald.

Literatuur:
David S. Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, 3rdedition (reguliere editie, of “student edition”) [het is de bedoeling is om dit boek ook te gaan gebruiken voor vervolgvakken algebra op niveau 2 en 3]

Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven; het boek is Engelstalig.

Zie onder vakinhoud.

Verzamelingen, bewijstechnieken (inductie; bewijs uit het ongerijmde), begrippen uit de lineaire algebra als vector, basis, en matrix, zoals behandeld in de vakken Bewijzen in de wiskunde (WISB102) en Lineaire algebra (WISB107 en WISB108). Zie de cursusplanner (cursusplanner.uu.nl) voor de inhoud van deze vakken: selecteer Faculteit Betawetenschappen en vervolgens het programma van de bachelor Wiskunde van het meest recente jaar.

• Book David S. Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, 3rdedition (reguliere editie, of “student edition”)