Foundations of mathematics

Het vak Grondslagen van de Wiskunde is een keuzevak voor wiskundestudenten. Het vak is voorkennis voor studenten die zich verder willen specialiseren in logica. Zie voor meer informatie over de studiepaden de studentenwebsite.

Leerdoelen:
De onderwerpen die in dit vak aan bod komen zijn:

• Elementaire (naïeve) verzamelingenleer: rekenen met kardinaliteiten, Keuze-axioma, Lemma van Zorn, Welordeningen, Transfinite Inductie en Recursie, Equivalentie van Keuze-axioma, Lemma van Zorn en Welordeningsstelling.
• Eerste-orde talen, formules, zinnen, theorieën.
• Structuren en het begrip “zin ‑ is waar in structuur M”.
• Definieerbaarheid en de Compactheidsstelling.
• Enige modeltheorie: elementaire substructuren, kwantor-eliminatie, stellingen van Lowenheim-Skolem, categorische theorieën, Łos-Vaught Test.
• Bewijsbomen.
• Volledigheidsstelling.
• Het axiomasysteem van Zermelo-Fraenkel.
• Ordinaal- en kardinaalgetallen; de cumulatieve hiërarchie.
• De reële getallen in ZF.

Na afronding van de cursus is de student in staat om:

• eenvoudige kardinaliteitsberekeningen uit te voeren;
• bewijzen te produceren met behulp van Keuze-axioma en Lemma van Zorn;
• functies en verzamelingen te definiëren met Transfinite Recursie;
• zinnen in een formele eerste-orde taal op te schrijven van een gegeven structuur uit te maken of zij model is van een gegeven theorie;
• de Compactheidsstelling toe te passen;
• kwantor-eliminatie en de stellingen van Lowenheim-Skolem toe te passen;
• formele bewijsbomen te maken voor eenvoudige tautologieen;
• eenvoudige wiskundige beweringen op te schrijven in de formele taal van ZF.

De student is in staat om zelfstandig de voor een gegeven eenvoudig probleem relevante bewijstechnieken te selecteren en het probleem daarmee op te lossen en de oplossing van het probleem duidelijk onder woorden te brengen.
Attitudes: de student geeft blijk van respect voor de waarheid.

Cursuspagina:

http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/grondslagen2019.html

Onderwijsvormen:
Er is twee keer per week een hoorcollege van twee uur, en twee keer per week werkcollege van twee uur.

Toetsing:
Er is een eindtentamen en een herkansing over de gehele stof. Daarnaast zijn er 7 inleveropgaven, die voor 15% meetellen: als T het tentamencijfer is ( of het cijfer voor de herkansing) en I het cijfer voor de inleversommen, dan is het eindcijfer het maximum van T en (85T+15I)/100. De inleversommen blijven dus geldig tot en met de herkansing.

Herkansing en inspanningsverplichting:
Studenten die een lager eindcijfer hebben dan een 4 mogen alleen meedoen aan de herkansing als zij voldoen aan de inspanningsverplichting van het vak, te weten:tenminste 5 inleversommen gemaakt.

Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven.

Zie onder vakinhoud.

First two years of the bachelor mathematics

• Book Sets, Models and Proofs van I.Moerdijk en J. van Oosten, te verkrijgen bij https://www.springer.com/gp/book/9783319924137 of (met korting) bij https://aeskwadraat.itdepartment.nl/boekenlijst/A-Eskwadraat/2019/BL067168/Bachelor-Wiskunde-Jaar-2-en-3