Introduction to Groups and Rings

Een "groep" is de wiskundige formalisatie van het begrip "symmetrie" en een “ring” is een formalisatie van een structuur met optelling en vermenigvuldiging. In dit vak krijgt de student een inleiding in deze twee abstracte structuren, hun eigenschappen, en concrete manifestaties ervan. Het vak is verplicht voor wiskundestudenten. Het vak geeft voorkennis voor alle algebra-, analyse-, meetkunde- en topologievakken in de bachelor. Zie voor meer informatie over de studiepaden de studentenwebsite.

Leerdoelen:
Onderwerpen die aan de orde komen zijn:

• de axioma's van groepen en ringen
• voorbeelden van groepen: symmetriegroepen, permutatiegroepen, matrixgroepen
• voorbeelden van ringen: gehele getallen, modulorekenen, polynomen, matrices, quaternionen
• begrippen commutativiteit, orde, nuldelers, domein, lichaam
• (normale) ondergroepen en quotiëntgroepen
• idealen, hoofdideaaldomein, unieke factorisatie, irreducibiliteit
• homomorfisme, kern, beeld, isomorfismestellingen voor groepen en ringen

Na afronding van de cursus kent de student:

• de definitie en eigenschappen van de begrippen in de lijst onderwerpen hierboven.
• de stellingen van Cauchy, Cayley, Lagrange, en de homomorfismestellingen voor groepen en ringen.

Na afronding van de cursus kan de student de geleerde begrippen, eigenschappen en stellingen toepassen op concrete en abstracte problemen.

Onderwijsvormen:
Er is twee keer per week een hoorcollege van tweemaal 45 minuten. Het te behandelen materiaal (uit het boek, zie hieronder) zal worden aangekondigd op Brightspace. Het wordt aangeraden dit materiaal voor het college door te nemen.

Daarnaast is er drie keer per week een werkcollege, onder begeleiding van een werkcollegebegeleider en student-assistenten, van tweemaal 45 minuten. In het werkcollege gaat de student actief aan de slag met het uitleggen (mondeling en schriftelijk) van begrippen en uitwerkingen van opgaven.

Toetsing:
De student wordt in deze cursus op de volgende manieren getoetst:

1. Iedere week verschijnt na het college een (vrijwillige) quiz die in 10 minuten afgenomen en automatisch nagekeken wordt. De quizzes kunnen het eindcijfer verhogen (zie hieronder).
2. De student krijgt (individueel en/of in groepjes) verplichte inleveropgaven. Daarnaast zijn er opdrachten bij het werkcollege, waarvoor aanwezigheid verplicht is. Fraude of plagiaat zal bij de examencommissie gemeld worden.
3. Eindtentamen.

Een student mag aan het tentamen deelnemen als die aan de inspanningsverplichting voldoet. Die is R>5 , waarbij R het gemiddelde cijfer is van de verplichte activiteiten tijdens het blok.

Het eindcijfer wordt als volgt berekend. Als T het cijfer van het tentamen is (op 10), D de verhouding “aantal deelgenomen quizzes”/“totaal aantal quizzes”, Q het gemiddelde cijfer (op 10) voor de quizzes, dan is het eindcijfer E = max { 0.5 R + 0.5 T, 0.5 R + 0.1 DQ+(0.5-0.1 D)T}. Het vak is gehaald als E >= 5.5 en T >= 5.5.

Het vak kan op honoursniveau gevolgd worden door het maken van aanvullende opdrachten.

Herkansing:
Om aan de herkansing deel te mogen nemen, moet de student aan de inspanningsverplichting hebben voldaan en een eindcijfer E=4 of E=5 hebben gehaald. Het cijfer H van het hertentamen (op 10) vervangt dan het tentamencijfer T in de herberekening van het eindcijfer E. Het vak is alsnog gehald als E >= 5.5 en H >= 5.5.

Literatuur:
David S. Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, 3rdedition (reguliere editie, of “student edition”)

Taal van het vak:
Het vak wordt in het Nederlands gegeven; het boek is Engelstalig.

Zie onder vakinhoud.

Sets, proof techniques (mathematical induction; proof by contradiction), concepts from linear algebra, such as vector, basis and matrix, as covered in the courses Proofs in mathematics (WISB102) and Linear Algebra (WISB107 and WISB108). See the courseplanner (cursusplanner.uu.nl) for the contents of those courses: select Faculty of Science and then the programme of the bachelor Mathematics of the most recent year.

• Book David S. Dummit, Richard M Foote, Abstract Algebra, 3rd edition (reguliere editie, of “student edition”)